
%!TEX program = xelatex
%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass[11pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%页面的高度与宽度、上边界与左边界-------正常打印边界
%\addtolength{\textheight}{1cm}
%\addtolength{\voffset}{-1cm}
%\addtolength{\textwidth}{2cm}
%\addtolength{\hoffset}{-1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
%\author{王立庆（2019级数学与应用数学1班）}
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} 姓名  \underline{\hspace{4cm}} }
%\title{高等代数第六章：向量空间}
\title{高等代数二自测题2解答 }
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2023年6月8日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{选择题}
\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %1
设 $f(x)=x^4+x^2+1$, $g(x)=x^2+x+1$, 则 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余式是什么？

\begin{enumerate}
\item $0$.
\item $1$.
\item $x+1$.
\item $x-1$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 因为 $x^4+x^2+1= (x^2+x+1)(x^2-x+1)$, 所以正好是整除的，所以余式是零。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %2
设 $f(x)=x^2+2x+a$ 与 $g(x)=x^2+3x+2a$ 的最大公因式是一次的，则 $a$ 的值是多少？

\begin{enumerate}
\item $0$.
\item $1$.
\item $0$ 或 $1$.
\item 不存在。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 由于$g(x)-f(x)=x+a$, 因为$(f,g)=(f,g-f)$, 所以 $x+a$ 就是它们的最大公因式。由 $(x+a)\mid f(x)$ 可知 $f(-a)=0$, 所以 
$a^2-2a+a=0$, 所以 $a=0$ 或 $a=1$. 检验可知这两种情况下，题目的条件都满足。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %3
如果多项式 $f(x)=x^3+3x^2+3x+a$ 有重因式，那么 $a$ 的值是多少？

\begin{enumerate}
\item $0$.
\item $1$.
\item $0$ 或 $1$.
\item 不存在。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 导数多项式为 $f'(x)=3x^2+6x+3$, 因为 $f(x)$ 有重因式，所以 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 不是互素的。
将 $3f(x)$ 除以 $f'(x)$ 得余式为 $3x+3a$. 因此 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的最大公因式为 $x+a$. 所以 $f'(-a)=0$. 所以 $a=1$. 

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %4
在有理系数多项式环中，下述哪个多项式是可约的？

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+3x+3$.
\item $f(x)=x^3+3x^2+3x+3$.
\item $f(x)=x^4+3x^2+4$.
\item $f(x)=x^5+2x^4+4x^2+4x+6$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 由艾森斯坦判别法，可知其余三个多项式都是在有理系数范围内不可约的。因为
$$f(x)=(x^2+2)^2-x^2=(x^2+2+x)(x^2+2-x),$$ 
所以选项 (c) 的多项式在有理系数范围内是可以分解的。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %5
设 $f(x)=x^4-x^3-x^2+x-6$. 则 $f(x)$ 的有理根是什么？

\begin{enumerate}
\item $1$.
\item $2$.
\item $3$.
\item 不存在。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 首先可知这个多项式的所有可能的有理根为 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. 逐个代入计算得 $f(2)=0$. 因此 $x=2$ 是其中一个有理根。将 $f(x)$ 除以 $x-2$ 得商式为 $q(x)=x^3+x^2+x+3$. 这个多项式的可能的有理根为 $\pm 1, \pm 2, \pm 3$. 逐个代入计算，可知都不是有理根。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %6
设实数域上的三维行向量空间 $V=\mathbb{R}^3$, 设向量 $\xi=(x_1,x_2,x_3)$. 设映射 $\sigma: V\to V$ 由下述定义。其中哪个不是线性映射？

\begin{enumerate}
\item $\sigma(\xi)=(x_1+4,x_2+4,x_3+4)$.
\item $\sigma(\xi)=(x_1,2x_2,3x_3)$.
\item $\sigma(\xi)=(x_2,x_2,x_2)$.
\item $\sigma(\xi)=(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_1)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 这个映射不保持加法，特别地，它将零向量映成了一个非零向量。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %7
设实数域上的三维行向量空间 $V=\mathbb{R}^3$, 设向量 $\xi=(x_1,x_2,x_3)$. 
设线性变换 $\sigma: V\to V$ 由$\sigma(\xi)=(0,x_1,x_2)$ 定义。则这个线性变换的核空间与像空间的维数分别是多少？

\begin{enumerate}
\item $1,1$.
\item $1,2$.
\item $2,1$.
\item $2,2$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 记标准基 $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$. 则核空间为 $\mathcal{L}(e_1)$, 像空间为 $\mathcal{L}(e_2,e_3)$. 所以它们的维数分别是 $1$ 与 $2$.

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %8
设实数域上的三维行向量空间 $V=\mathbb{R}^3$, 对向量 $\xi=(x_1,x_2,x_3)$, 
设线性变换 $\sigma: V\to V$ 由 $\sigma(\xi)=(x_1+2x_2,3x_2+4x_3,5x_3+6x_1)$ 定义。
设这个线性变换在标准基 $\{e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)\}$ 下的矩阵是 $A$. 
则矩阵 $A$ 的第 (2,3) 元素是多少？

\begin{enumerate}
\item 2.
\item 3.
\item 4.
\item 5.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 按照线性变换关于一个基的矩阵的定义，我们有
$$\left( \sigma(e_1), \sigma(e_2), \sigma(e_3) \right) = \left( e_1, e_2, e_3 \right) 
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}. 
$$
由题目条件可知，$\sigma(e_1)=(1,0,6)$, $\sigma(e_2)=(2,3,0)$, $\sigma(e_3)=(0,4,5)$. 因此矩阵 $A$ 等于如下
$$
\begin{pmatrix} 
1&2&0 \\ 
0&3&4 \\
6&0&5\\ 
\end{pmatrix}. 
$$
这个矩阵的第 $(2,3)$ 元素为 $4$. 
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %9
设线性变换 $\sigma: V\to V$ 关于 $V$ 的一个基 $\{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \}$ 的矩阵是 
$$A=\begin{pmatrix} 
1&0&0&0\\ 
0&2&0&0 \\
0&0&3&4\\ 
0&0&5&6\\
\end{pmatrix}. 
$$
下述哪个向量子空间不是 $\sigma$ 的不变子空间？

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{L}(\alpha_1)$. 
\item $\mathcal{L}(\alpha_2)$. 
\item $\mathcal{L}(\alpha_3)$. 
\item $\mathcal{L}(\alpha_3, \alpha_4)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 子空间 $W$ 是$\sigma$-不变子空间的条件是 $\sigma(W)\subseteq W$. 由 $\sigma(\alpha_3)=3\alpha_3+5\alpha_4$ 可知第三个子空间不是$\sigma$-不变的。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %10
设有线性变换 $\sigma: V\to V$, 设有线性无关的向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$ 使得 
$$\sigma(\alpha_1)=2\alpha_1, \sigma(\alpha_2)=2\alpha_2, \sigma(\alpha_3)=2\alpha_3, \sigma(\alpha_4)=3\alpha_4. $$
下述不正确的说法是哪个？ 
\begin{enumerate}
\item $\alpha_1+\alpha_2$ 是一个特征向量。
\item $\alpha_1+\alpha_3$ 是一个特征向量。
\item $\alpha_2+\alpha_3$ 是一个特征向量。
\item $\alpha_2+\alpha_4$ 是一个特征向量。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 按定义，特征向量 $\xi$ 是一个非零向量，满足条件 $\sigma(\xi)=\lambda \xi$. 由题目条件可知前三个向量都不是零向量，而且都是属于特征值 $\lambda=2$ 的特征向量。第四个向量不满足特征向量的定义，因为找不到一个数 $\lambda$ 使得  
$\sigma(\alpha_2+\alpha_4)=2\alpha_2+3\alpha_4 = \lambda(\alpha_2+\alpha_4).$

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %11
设实数矩阵 $A$ 如下，下述说法中，不正确的是哪个？
$$A= \begin{pmatrix} 
3&0&0 \\ 
0&4&1 \\
0&0&4 \\
\end{pmatrix}. 
$$

\begin{enumerate}
\item 这个矩阵的特征值是 $3$ 和 $4$. 
\item 存在一个线性无关的属于特征值 $3$ 的特征向量。
\item 存在两个线性无关的属于特征值 $4$ 的特征向量。
\item 这个矩阵不能相似于对角阵。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda E-A)=(\lambda-3)(\lambda-4)^2$. 所以特征值为 $\lambda_1=3, \lambda_{2,3}=4$. 求解 $(\lambda E-A)\vec{x}=\vec{0}$ 可知属于特征值 $\lambda_1=3$ 的特征向量为 $k(1,0,0),k\neq 0$, 属于特征值 $\lambda_{2,3}=4$ 的特征向量为 $k(0,1,0), k\neq 0$. 因为特征值 4 的代数重数为 2 而几何重数为1，所以矩阵 $A$ 不能相似于对角阵。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %12
设 $V=\mathbb{R}^4$ 是四维实数行向量空间，在下述内积下成为一个欧氏空间， 
$$\langle (x_1,x_2,x_3,x_4),(y_1,y_2,y_3,y_4)\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.$$
下述哪个向量与向量 $(1,2,3,4)$ 是正交的？

\begin{enumerate}
\item $(4,3,2,1)$. 
\item $(-4,-3,-2,-1)$. 
\item $(-1,-2,-3,-4)$. 
\item $(2,-1,4,-3)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 按定义，当两个向量的内积为零时，称这两个向量正交。计算可知第四个选项是对的。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %13
设 $V=\mathbb{R}^2$ 是二维实数行向量空间，在下述内积下成为一个欧氏空间， 
$$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1y_1+x_2y_2.$$
将向量组 $\{\alpha_1=(2,1), \alpha_2=(2,6)\}$ 进行施密特正交化，得到 $\{\beta_1,\beta_2\}$. 则 $\beta_2$ 等于什么？ 
\begin{enumerate}
\item $(2,4)$. 
\item $(2,-4)$. 
\item $(-2,4)$. 
\item $(-2,-4)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 由正交化公式，
\begin{eqnarray*}
\beta_1 &=& \alpha_1, \\ 
\beta_2 &=& \alpha_2 - \frac{\langle \alpha_2,\beta_1 \rangle}{\langle \beta_1,\beta_1 \rangle}\beta_1 
= (2,6) - \frac{\langle (2,6),(2,1) \rangle}{\langle (2,1),(2,1) \rangle}(2,1) 
= (2,6) - \frac{10}{5}(2,1) 
= (-2,4).
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %14
设 $V=\mathbb{R}^3$ 是三维实数行向量空间，在下述内积下成为一个欧氏空间， 
$$\langle (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$
向量 $\alpha=(3,2,4)$ 在由等式 $x=0$ 定义的平面上的正射影是什么？

\begin{enumerate}
\item $(3,2,0)$. 
\item $(3,0,4)$. 
\item $(0,2,4)$. 
\item $(3,0,0)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 由等式 $x=0$ 定义的平面是 $Oyz$ 坐标平面，有规范正交基 $\{e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)\}$. 
所以向量 $\alpha$ 在这个子空间中的投影是 
$$\langle \alpha, e_2 \rangle e_2 + \langle \alpha, e_3 \rangle e_3 = (0,2,4). $$

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %15
设 $a,b,c$ 是三个实数，设下述矩阵 $A$ 是一个正交矩阵，则 $c$ 等于多少？ 
$$A=\begin{pmatrix} 
1&0&0 \\ 
0&1/2&a \\
0&b&c \\
\end{pmatrix}. $$
\begin{enumerate}
\item $0$. 
\item $1/2$.
\item $-1/2$.
\item $1/2$ 或 $-1/2$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 根据正交矩阵的定义，$AA^t=E$. 由此可得矩阵 $A$ 等于下述几种可能，
{\small
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1/2&-\sqrt{3}/2 \\0&\sqrt{3}/2&1/2 \\ \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1/2&\sqrt{3}/2 \\0&-\sqrt{3}/2&1/2 \\ \end{pmatrix},  \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1/2&-\sqrt{3}/2 \\0&-\sqrt{3}/2&-1/2 \\ \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1/2&\sqrt{3}/2 \\0&\sqrt{3}/2&-1/2 \\ \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %16
设 $V$ 是一个欧氏空间，内积记为 $\langle -,-\rangle$. 设线性变换 $\sigma\in L(V)$ 是一个对称变换。下述说法中，不正确的是哪个？

\begin{enumerate}
\item 对任意向量 $\alpha,\beta\in V$, 
都有 $\langle \sigma(\alpha), \beta\rangle = \langle \alpha,\sigma(\beta) \rangle$. 
\item 这个线性变换在任意一个规范正交基下的矩阵是对称阵。
\item 这个线性变换在某个规范正交基下的矩阵是对角阵。
\item 这个线性变换在任意一个基下的矩阵是对称阵。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 选项 (a) 是对称变换的定义。选项 (b) 是对称变换的充分必要条件。选项 (c) 是对称变换的重要性质。选项 (d) 是不对的。


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %17
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2+9x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3$ 对应的对称矩阵为 $A$. 则 $A$ 的第 $(2,3)$ 元素是什么？ 

\begin{enumerate}
\item $1$. 
\item $2$. 
\item $3$. 
\item $4$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 根据二次型与对称矩阵的关系，可得
\begin{eqnarray*}
f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2+9x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3 
= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 1&5&3 \\ 2&3&9  \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %18
计算实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2 +2x_1x_3$ 的正惯性指数和负惯性指数。

\begin{enumerate}
\item 1,1.
\item 1,0.
\item 2,1.
\item 2,0. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 在实数范围内，对变量进行一系列的可逆线性变换，化为平方和的形式，可得
\begin{eqnarray*}
f(x_1,x_2,x_3) = x_1x_2 +2x_1x_3 = y_1y_2 = z_1^2-z_2^2,
\end{eqnarray*}
因此正负惯性指数都是1. 其中的变量代换为 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1 &=& x_1, \\
y_2 &=& x_2+2x_3, \\
y_3 &=& x_3,
\end{array}\right. 
\hspace{0.5cm}
\left\{\begin{array}{rcl}
z_1 &=& y_1/2+y_2/2, \\
z_2 &=& y_1/2-y_2/2, \\
z_3 &=& y_3.
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %19
设实二次型 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+kz^2-2xy-2xz-8yz $ 是正定的，即对任意不全为零的三个实数 $(x,y,z)$, 函数值 $f(x,y,z)$ 都大于零，则实数 $k$ 的取值范围是什么？

\begin{enumerate}
\item $k>2$. 
\item $k>4$. 
\item $k>8$. 
\item $k>26$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 这个实二次型对应的对称矩阵是
\begin{eqnarray*}
A = \begin{pmatrix} 1&-1&-1 \\ -1&2&-4 \\ -1&-4&k \\ \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
根据正定矩阵的充分必要条件，所有顺序主子式的值都大于零，可得
\begin{eqnarray*}
|A_1|=1>0, \hspace{0.5cm}
|A_2|= \begin{vmatrix} 1&-1 \\ -1&2 \\ \end{vmatrix} = 1>0, \hspace{0.5cm}
|A_3| = \begin{vmatrix} 1&-1&-1 \\ -1&2&-4 \\ -1&-4&k \\ \end{vmatrix} = k-26>0. 
\end{eqnarray*}
所以选项 (d) 是所求的取值范围。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %20
方程 $13x^2+10xy+13y^2=72$ 在 $Oxy$ 平面上的图像是一个椭圆。它的长半轴和短半轴分别是多少？

\begin{enumerate}
\item $2, 1$.
\item $3, 2$.
\item $4, 3$.
\item $5, 4$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 实二次型 $13x^2+10xy+13y^2$ 对应的对称阵是 
$$A=\begin{pmatrix} 13&5 \\ 5&13 \\ \end{pmatrix}.$$
这个矩阵的特征多项式为
\begin{eqnarray*}
\det(\lambda E-A) = \begin{vmatrix} \lambda - 13& -5 \\ -5&\lambda -13 \\ \end{vmatrix} = \lambda^2-26\lambda+144.
\end{eqnarray*}
求得它的特征值为 $\lambda_1=8$, $\lambda_2=18$. 
所以存在正交变换 $(u,v)=(x,y)P$ 使得 $13x^2+10xy+13y^2 = 8u^2+18v^2$. 
所以经过这个正交变换对应的旋转，椭圆的方程化为 $8u^2+18v^2=72$, 即 $u^2/9+v^2/4=1$. 所以它的长半轴和短半轴分别为 3 和 2. 


}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
A（正在做小学数学作业）: 老师要我们用简便方法计算两个分式的和，
\begin{eqnarray*}
\frac{13}{18} + \frac{11}{19}. 
\end{eqnarray*}

B（正在复习泰勒级数）: 首先把分式的分母变成你想要的分母，例如，
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{18} = \frac{1}{19-1} =\frac{1}{19}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{19}} 
= \frac{1}{19}\cdot\left(1+\frac{1}{19}+\frac{1}{19^2}+\frac{1}{19^3} + \frac{1}{19^4} + \cdots \right).
\end{eqnarray*}
这样就可以计算不同分母的两个分式的和，
\begin{eqnarray*}
\frac{13}{18} + \frac{11}{19} &=& \frac{13}{19}\cdot\frac{19}{18} + \frac{11}{19} \\
&=& \frac{13}{19}\cdot\left(1+\frac{1}{19}+\frac{1}{19^2}+\frac{1}{19^3} +\frac{1}{19^4}+\cdots \right)+\frac{11}{19} \\
&=&\left(\frac{13}{19}  + \frac{13}{19^2} + \frac{13}{19^3} +\frac{13}{19^4}+ \cdots \right) + \frac{11}{19}\\
&=& \frac{24}{19} + \frac{13}{19^2} + \frac{13}{19^3} +\frac{13}{19^4}+ \cdots \\
&=& 1+ \frac{5}{19} + \frac{13}{19^2} + \frac{13}{19^3} +\frac{13}{19^4}+ \cdots \\
&=& \left( \underline{1}\,.\, \underline{5}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \cdots\right) _{\text{19进制小数}}.
\end{eqnarray*}

A: 哦，原来在19进制中，
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{18} &=& \frac{1}{19}+\frac{1}{19^2}+\frac{1}{19^3} + \frac{1}{19^4} + \cdots  
= \left( \underline{0}\,.\, \underline{1}\, \underline{1}\, \underline{1}\, \underline{1}\, \cdots\right) _{\text{19进制小数}}.
\end{eqnarray*}
这样就可以用小数的写法来计算两个分式的和，
\begin{eqnarray*}
\frac{13}{18} + \frac{11}{19}  
&=& \left( \underline{0}\,.\, \underline{13}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \cdots\right) _{\text{19进制小数}} 
 + \left( \underline{0}\,.\, \underline{11}\right) _{\text{19进制小数}} \\ 
&=& \left( \underline{0}\,.\, \underline{24}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \cdots\right) _{\text{19进制小数}} \\
&=& \left( \underline{1}\,.\, \underline{5}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \underline{13}\, \cdots\right) _{\text{19进制小数}}.
\end{eqnarray*}

B: 很好，你写得比我更加简单。

A: 但是怎么把小数的样子写成原来的分式的样子呢？

B: 。。。


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


